(2013•雅安)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,對稱軸是直線l,l與x軸交于點(diǎn)H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的一個(gè)動點(diǎn),求△PBC周長的最小值;
(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個(gè)動點(diǎn)( E與A、D不重合),過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,△ADF的面積為S.
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo); 若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn),用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;
(2)根據(jù)BC是定值,得到當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長最小,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可;
(3)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,表示出E(m,2m+6),F(xiàn)(m,-m2-2m+3),最后表示出EF的長,從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系,然后求二次函數(shù)的最值即可.
解答:解:(1)由題意可知:
a+b+c=0
9a-3b+c=0
c=3

解得:
a=-1
b=-2
c=3

∴拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3;

(2)∵△PBC的周長為:PB+PC+BC
∵BC是定值,
∴當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長最小,
∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對稱軸l對稱,
∴連接AC交l于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)
∵AP=BP
∴△PBC的周長最小是:PB+PC+BC=AC+BC
∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),
∴AC=3
2
,BC=
10
;
故△PBC周長的最小值為3
2
+
10


(3)①∵拋物線y=-x2-2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)
∵A(-3,0)
∴直線AD的解析式為y=2x+6
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,
∴E(m,2m+6),F(xiàn)(m,-m2-2m+3)
∴EF=-m2-2m+3-(2m+6)
=-m2-4m-3
∴S=S△DEF+S△AEF
=
1
2
EF•GH+
1
2
EF•AG
=
1
2
EF•AH
=
1
2
(-m2-4m-3)×2
=-m2-4m-3;
②S=-m2-4m-3
=-(m+2)2+1;
∴當(dāng)m=-2時(shí),S最大,最大值為1
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,2).
點(diǎn)評:此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎(chǔ).
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