Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中點，DE平分∠ADC，
（1）求證：CE平分∠BCD；
（2）若DE=15，CE=20，求四邊形ABCD的面積；
（3）在（2）的條件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）

Answer 1

分析：（1）過點E作EF⊥CD，垂足為F，利用角平分線的性質(zhì)以及其判定得出即可；
（2）首先得出S_△DEC的面積，進而得出Rt△ADE≌Rt△FDE，Rt△BCE≌Rt△FCE，S_{四邊形ABCD}=2S_△DEC，進而求出即可；
（3）由（2）得：AD=DF，F(xiàn)C=BC，則AD+BC=CD，利用S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB=300，進而得出CD的長．

解答：（1）證明：過點E作EF⊥CD，垂足為F，
∵DE平分∠ADC∠A=90°，
∴EA=EF（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
∵E是AB的中點，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴CE平分∠BCD（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）；

（2）解：∵四邊形ABCD中∠A=∠B=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠EDC=

1

2

∠ADC，∠ECD=

1

2

∠BCD
∴∠EDC+∠ECD=90°
∴∠DEC=90°
∴S_△DEC=

1

2

DE×CE=

1

2

×15×20=150，
∵在Rt△ADE和Rt△FDE中

AE=EF DE=DE

，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
在Rt△BCE和Rt△FCE中

EC=EC EB=FE

，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△DEC=300；

（3）解：由（2）得：AD=DF，F(xiàn)C=BC，
∴AD+BC=CD，
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB，
由（2）知S_梯形ABCD=300，
∴

1

2

（AD+BC）×AB=300，
∴CD=25．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)與定理和梯形的面積求法，熟練利用角平分線的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．