【題目】已知拋物線y1=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0).
(1)求拋物線y1的函數(shù)解析式;
(2)如圖①,將拋物線y1沿x軸翻折得到拋物線y2 , 拋物線y2與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥y軸交拋物線y1于點(diǎn)E,求線段DE的長(zhǎng)度的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)線段DE處于長(zhǎng)度最大值位置時(shí),作線段BC的垂直平分線交DE于點(diǎn)F,垂足為H,點(diǎn)P是拋物線y2上一動(dòng)點(diǎn),⊙P與直線BC相切,且S⊙P:S△DFH=2π,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:將點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0)代入y1=ax2+bx﹣4得:a=1,b=﹣3,
∴拋物線y1的函數(shù)解析式為:y1=x2﹣3x﹣4;
(2)解:由對(duì)稱性可知,拋物線y2的函數(shù)解析式為:y2=﹣x2+3x+4,
∴C(0,4),設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+q,
把B(4,0),C(0,4)代入得,k=﹣1,q=4,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+4,
設(shè)D(m,﹣m+4),E(m,m2﹣3m﹣4),其中0≤m≤4,
∴DE=﹣m+4﹣(m2﹣3m﹣4)=﹣(m﹣1)2+9,
∵0≤m≤4,∴當(dāng)m=1時(shí),DEmax=9;
此時(shí),D(1,3),E(1,﹣6);
(3)解:由題意可知,△BOC是等腰直角三角形,
∴線段BC的垂直平分線為:y=x,
由(2)知,直線DE的解析式為:x=1,
∴F(1,1),
∵H是BC的中點(diǎn),
∴H(2,2),
∴DH= ,F(xiàn)H= ,
∴S△DFH=1,
設(shè)⊙P的半徑為r,
∵S⊙P:S△DFH=2π,
∴r= ,
∵⊙P與直線BC相切,
∴點(diǎn)P在與直線BC平行且距離為 的直線上,
∴點(diǎn)P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上,
∵點(diǎn)P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上,
∴﹣x+2=﹣x2+3x+4,
解得:x1=2+ ,x2=2﹣ ,
﹣x+6=﹣x2+3x+4,
解得:x3=2+ ,x4=2﹣ ,
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè),分別是(2+ ,﹣ ),(2﹣ , ),(2+ ,4﹣ ),(2﹣ ,4+ ).
【解析】(1)(1)把A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0)坐標(biāo)代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法即可求出;(2)關(guān)于x軸翻折后的解析式可套用點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱坐標(biāo)變換方法即x不變,y變?yōu)槠湎喾磾?shù)-y ,-y=x2﹣3x﹣4,即y2=﹣x2+3x+4;豎直線段的最值問題可以化歸為函數(shù)最值問題,須構(gòu)建以動(dòng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m為自變量,DE長(zhǎng)為因變量的函數(shù),豎直線段等于上、下兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差來表示,二次函數(shù)最值問題可用配方法解決;(3)利用互垂直線的斜率積=-1求出BC的垂直平分線的解析式,由S⊙P:S△DFH=2π,得r= ,,由⊙P與直線BC相切,可知點(diǎn)P在與直線BC平行且距離為 的直線上,由點(diǎn)P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上,點(diǎn)P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上,聯(lián)立解析式﹣x+2=﹣x2+3x+4和﹣x+6=﹣x2+3x+4,分別解方程即可.
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【題目】抖音將“重慶洪崖洞”抖成了全國知名景點(diǎn),五一期間,很多外地游客都慕名前來打卡.小麗和小萌二人約定分別從貴陽和遵義自駕到重慶游玩,由于貴陽到重慶的路程更遠(yuǎn),所以小麗先出發(fā),2.2小時(shí)后小萌才出發(fā)追趕小麗,她們二人離貴陽的距離(千米)與小麗行駛的時(shí)間(小時(shí))之間的關(guān)系圖像如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問題:
(1)小麗的速度為 千米/小時(shí),小萌的速度為 千米/小時(shí);
(2)當(dāng)小萌追上小麗時(shí),她們離貴陽的距離是多少千米?
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【題目】如圖,根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是 .
(2)關(guān)于x的不等式mx+n<1的解集是 .
(3)當(dāng)x為何值時(shí),y1≤y2?
(4)當(dāng)x為何值時(shí),0<y2<y1?
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個(gè)問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:今有甲種袋子中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙種袋子中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲種袋子比乙種袋子輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,則可建立方程為( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC,頂點(diǎn)A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣3,﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1(不寫畫法);
點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則△ABC的面積是 .
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【題目】如圖,直徑為10的半圓O,tan∠DBC= ,∠BCD的平分線交⊙O于F,E為CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠EBF=∠GBF.
(1)求證:BE為⊙O切線;
(2)求證:BG2=FGCE;
(3)求OG的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD位于第一象限,邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)A在直線y=x上,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,正方形ABCD的邊分別平行于x軸、y軸.若雙曲線y= 與正方形ABCD有公共點(diǎn),則k的取值范圍為( )
A.1<k<9
B.2≤k≤34
C.1≤k≤16
D.4≤k<16
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