Question

（本小題滿分12分）已知：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C． 其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OA<OC）是方程的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的長是x²－5x+4=0的根，OA<OC
∴OA=1，OC=4
∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸
∴A（－1，0） C（0，－4）      
∵拋物線的對稱軸為
∴由對稱性可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
∴A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）
（2）∵點(diǎn)C（0，－4）在拋物線圖象上
∴
將A（－1，0），B（3，0）代入得
解之得
∴ 所求拋物線解析式為：
（3）根據(jù)題意，，則
在Rt△OBC中，BC==5
∵，∴△ADE∽△ABC
∴
∴
過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則sin∠EDF=sin∠CBA=
∴
∴EF=DE==4－m
∴S_△CDE=S_△ADC－S_△ADE
=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）
=m²+2m（0<m<4）
∵S=（m－2）²+2， a=<0
∴當(dāng)m=2時，S有最大值2.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）. 

解析