Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發(fā)沿BO向終點O運(yùn)動，動點Q從A點出發(fā)沿AB向終點B運(yùn)動．兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了xs．
（1）Q點的坐標(biāo)為

 

（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？
（3）記PQ的中點為G．請你探求點G隨點P，Q運(yùn)動所形成的圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）如果過點A作OB的垂線，不難求出cos∠ABO=

3

5

，sin∠ABO=

4

5

，因此，Q移動時，橫向移動的速度是1•cos∠ABO=

3

5

單位/秒，縱向移動的速度是1•sin∠ABO=

4

5

單位/秒，因此Q得坐標(biāo)就可表示為（2+

3

5

x，4-

4

5

x）．
（2）有了A、Q的坐標(biāo)，如果分別過A、Q做x軸的垂線，通過構(gòu)成的直角三角形，不難用x表示出AQ、AP和PQ的值，然后分AP=AQ，PQ=AP兩種情況進(jìn)行討論，得出x的值．
（3）通過觀察G點似乎應(yīng)該在三角形ABO的中位線上，因此它的軌跡應(yīng)該是個線段．
可設(shè)AB、BO的中點分別為點M、N，設(shè)MN、PQ相交于點G′，只要證明G′與G重合，也就是G′是QP的中點即可．過點P作PK∥AO交AB于點K．只要證明KM=QM就行了，根據(jù)三角形AOB為等腰三角形，AQ、PK、MN都平行，不難得出AQ=BK，AM=BM，因此便可得出KM=QM了．由此便可得出G′是PQ中點，與G重合．

解答：解：（1）（2+

3

5

x，4-

4

5

x）．

（2）由題意，得P（5-x，0），0＜x≤5
由勾股定理
求得PQ²=（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²
AP²=（3-x）²+4²
若AQ=AP，則x²=（3-x）²+4²，解得x=

25

6

若PQ=AP
則（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²=（3-x）²+4²
即

11

5

x²-10x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

50

11

經(jīng)檢驗，當(dāng)x=

25

6

或x=

50

11

時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形．

（3）設(shè)AB、BO的中點分別為點M、N，則點G隨點P、Q運(yùn)動所形成的圖形是線段MN
設(shè)MN，PQ相交于點G′，過點P作PK∥AO交AB于點K

∴PK∥AO∥MN
∴△A0B∽△KPB∽△MNB．
∵AB=OB
∴BK=BP=AQ，BM=BN
∴BK-BM=AQ-BM，
BK-BM=AQ-AM
即KM=QM
∴PG′=QG′
∴G′是PQ的中點
即點G′與點G重合．
∴點G隨點P、Q運(yùn)動所形成的圖形是△OBA的中位線MN．

點評：本題考查綜合應(yīng)用點的坐標(biāo)，等腰三角形的判定等知識進(jìn)行推理論證、運(yùn)算及探究證明的能力．