Question

（本小題滿分10分）

（1）如圖24—1，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AB="AC," AD⊥BC于D， 將△ABC沿AD剪開，并分別以AB、AC為軸翻轉，點E、F分別是點D的對應點，得到△ABE和△ACF (與△ABC在同一平面內)．延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如果⑴中AB≠AC，其他不變，如圖24—2．那么四邊形AEGF是否是正方形？請說明理由．
（3）在⑵中，若BD＝2，DC＝3，求AD的長．

Answer 1

⑴證明：
∵，AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC＝22.5°
∵點E與點D關于AB對稱，∴△AEB≌△ADB
∴AE=AD，∠AEB=∠ADB=90°，∠EAB=∠DAB
∴∠EAD=2∠DAB=45°
同理：AF=AD，∠AFC=90°，∠DAF=45°
∴AE=AF∠EAF=∠EAD+∠DAF=90°
∴四邊形AEGF是正方形………………………………………5分
⑵ 四邊形AEGF是正方形 ………………………………………6分
由⑴可知：∠EAB+∠FAC=∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
∵∠AEB=∠AFC=90°AE=AF
∴四邊形AEGF是正方形………………………………………8分
⑶ 設AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x ∴BG＝x－2，CG＝x－3
∴（x－2）2＋（x－3）2＝52   解得x1＝6，x2＝－1（舍）
∴AD＝x＝6          ………………………………………10分

解析