Question

【題目】如圖1，拋物線y= 2+b+c與x軸交于A（-1,0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若M是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，N是拋物線的頂點，求MN的長；

（3）設(shè)點P是（1）中的拋物線的一個動點，是否存在滿足S△PAB=8的點P？如存在請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1 備用圖

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1；（3）當P點的坐標分別為（1+2，4）、（1﹣2，4）、（1，﹣4）時，S△PAB=8．

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；

（2）結(jié)合拋物線的解析式得到點C、N的坐標，利用B、C的坐標可以求得直線BC的解析式，由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和點的坐標與圖形的性質(zhì)進行解答即可；

（3）根據(jù)P點在拋物線上設(shè)出P點，然后再由S△PAB=8，從而求出P點坐標．

試題分析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解之得，

∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3，則C（0，﹣3）．

又∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴N（1，﹣4）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣3（k≠0）．

把B（3，0）代入，得0=3k﹣3，解得k=1，

則該直線解析式為：y=x﹣3．

故當x=1時，y=﹣2，即M（1，﹣2），

∴MN=|﹣3|﹣|﹣2|=1．即MN=1；

（3）設(shè)點P的坐標為（x，y），由題意，得S△PAB=×4×|y|=8，

∴|y|=4， y=±4．

當y=4時，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=1+2，x2=1﹣2，

當y=﹣4時，x2﹣2x﹣3=﹣4，

∴x=1，

∴當P點的坐標分別為（1+2，4）、（1﹣2，4）、（1，﹣4）時，S△PAB=8．