【題目】如圖,RtABC,CABC,AC=4,在AB邊上取一點(diǎn)D,使AD=BC,作AD的垂直平分線,交AC邊于點(diǎn)F,交以AB為直徑的⊙OG,H,設(shè)BC=x.

(1)求證:四邊形AGDH為菱形;

(2)EF=y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)連結(jié)OF,CG.

①若△AOF為等腰三角形,求⊙O的面積;

②若BC=3,則CG+9=______.(直接寫出答案).

【答案】(1)證明見解析;(2)y=x2(x>0);(3)π(2+2)π;4

【解析】

(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可;
(2)只要證明△AEF∽△ACB,可得解決問題;
(3)①分三種情形分別求解即可解決問題;
②只要證明△CFG∽△HFA,可得=,求出相應(yīng)的線段即可解決問題;

(1)證明:∵GH垂直平分線段AD,

HA=HD,GA=GD,

AB是直徑,ABGH,

EG=EH,

DG=DH,

AG=DG=DH=AH,

∴四邊形AGDH是菱形.

(2)解:∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°,

AEEF,

∴∠AEF=ACB=90°,

∵∠EAF=CAB,

∴△AEF∽△ACB,

,

,

y=x2(x>0).

(3)①解:如圖1中,連接DF.

GH垂直平分線段AD,

FA=FD,

∴當(dāng)點(diǎn)DO重合時,△AOF是等腰三角形,此時AB=2BC,CAB=30°,

AB=,

∴⊙O的面積為π.

如圖2中,當(dāng)AF=AO時,

AB=,

OA=

AF=,

,

解得x=4(負(fù)根已經(jīng)舍棄),

AB=,

∴⊙O的面積為8π.

如圖2﹣1中,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時,設(shè)AE=x,則BC=AD=2x,AB=,

∵△ACE∽△ABC,

AC2=AEAB,

16=x,

解得x2=2﹣2(負(fù)根已經(jīng)舍棄),

AB2=16+4x2=8+8,

∴⊙O的面積=πAB2=(2+2)π

綜上所述,滿足條件的⊙O的面積為π或(2+2)π;

②如圖3中,連接CG.

AC=4,BC=3,ACB=90°,

AB=5,

OH=OA=

AE=,

OE=OA﹣AE=1,

EG=EH=,

EF=x2

FG=,AF=,AH=,

∵∠CFG=AFH,FCG=AHF,

∴△CFG∽△HFA,

,

,

CG=

CG+9=4

故答案為4

練習(xí)冊系列答案
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1)當(dāng)每個紀(jì)念品定價為3.5元時,商店每天能賣出________件;

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