如圖,已知二次函數(shù)L1:y=x2﹣4x+3與x軸交于A.B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)寫(xiě)出二次函數(shù)L1的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)研究二次函數(shù)L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).

①寫(xiě)出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì);

②若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn),問(wèn)線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如果不會(huì),請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度;如果會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題。

專題:綜合題。

分析:(1)拋物線y=ax2+bx+c中:a的值決定了拋物線的開(kāi)口方向,a>0時(shí),拋物線的開(kāi)口向上;a<0時(shí),拋物線的開(kāi)口向下.

拋物線的對(duì)稱軸方程:x=﹣;頂點(diǎn)坐標(biāo):(﹣,).

(2)①新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以k所得,因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析.

②聯(lián)系直線和拋物線L2的解析式,先求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo),進(jìn)而可表示出EF的長(zhǎng),若該長(zhǎng)度為定值,則線段EF的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化.

解答:解:(1)拋物線y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3;

∴﹣=﹣=2,==﹣1;

∴二次函數(shù)L1的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸是直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,﹣1).

(2)①二次函數(shù)L2與L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì):

對(duì)稱軸為x=2或定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

都經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn);

②線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化.

∵直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn),

∴kx2﹣4kx+3k=8k,

∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,

解得:x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,

∴線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化.

點(diǎn)評(píng):該題主要考查的是函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),有:二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的解法等,難度不大,但需要熟練掌握.

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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(
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2
,
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),B點(diǎn)在y軸上,直線與x軸的交點(diǎn)為F,P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn).
(1)求k,m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的精英家教網(wǎng)三角形與△BOF相似?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求此二次函數(shù)的解析式,并寫(xiě)出它的對(duì)稱軸;
(2)若直線l:y=kx(k>0)與線段BC交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B,C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若直線l′:y=m與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長(zhǎng)度.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)B在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求b的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn),則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)C(0,-5).
(1)求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)在上面所求二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P(2,-2),連接OP,找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo),使得△OPM是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•衡水一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
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x2+bx+c
的圖象經(jīng)過(guò)A(2,0)、B(0,-6)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積;
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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