Question

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．
數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．
例如：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數(shù)．
對(duì)于這個(gè)求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過(guò)程中，需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論．
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來(lái)求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的．而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形．此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n+1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為，即1+2+3+4+…+n=．
（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說(shuō)明）
（2）試設(shè)計(jì)另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說(shuō)明）

Answer 1

解：（1）因?yàn)榻M成此平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]個(gè)，即2n個(gè)，所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個(gè)，即2n²個(gè)．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）==n²．


（2）因?yàn)榻M成此正方形的小圓圈共有n行，每行有n個(gè)，所以共有（n×n）個(gè)，即n²個(gè)．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

分析：（1）根據(jù)題目中提供的基本思想，可以設(shè)計(jì)出類似的圖形，則共有n行，每行是2n個(gè)，從而進(jìn)行計(jì)算；
（2）也可以設(shè)計(jì)組成正方形的圖形，根據(jù)正方形的每行有n個(gè)，則n行共有n²個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．