Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）求證：四邊形OBEC是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠DBC= ∠ABC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC：∠BAD=1：2，

∴∠ABC=60°，

∴∠BDC= ∠ABC=30°，

則tan∠DBC=tan30°=

（2）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴BE∥OC，CE∥OB，

∴四邊形OBEC是平行四邊形，

則四邊形OBEC是矩形

【解析】（1）由四邊形ABCD是菱形，得到對(duì)邊平行，且BD為角平分線，利用兩直線平行得到一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進(jìn)而求出∠BDC度數(shù)，即可求出tan∠DBC的值；
（2）由四邊形ABCD是菱形，得到對(duì)角線互相垂直，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，再利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形即可得證．此題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．