Question

（2013•鹽城模擬）如圖（1），分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點(diǎn)（圓心在x軸上）交y軸于另一點(diǎn)Q，拋物線y=

1

4

x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）如圖（2），點(diǎn)R從正方形CDEF的頂點(diǎn)E出發(fā)以1個單位/秒的速度向點(diǎn)F運(yùn)動，同時點(diǎn)S從點(diǎn)Q出發(fā)沿y軸以5個單位/秒的速度向上運(yùn)動，連接RS，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜1），在運(yùn)動過程中，正方形CDEF在直線RS下方部分的面積是否變化？若不變，說明理由并求出其值；若變化，請說明理由；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)以及正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；根據(jù)垂徑定理可得圓心P為AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，連接PE、PA，根據(jù)勾股定理表示出PA²，設(shè)正方形CDEF的邊長為a，表示出PF，然后在Rt△PEF中，利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可求出a的值，然后求出OF，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出FM、PM，然后利用勾股定理逆定理判定PE⊥EM，再根據(jù)切線的定義得證；
（3）表示出點(diǎn)S、R的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線SR的解析式，再求出SR與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)梯形的面積公式列式進(jìn)行計算即可求出正方形CDEF在直線RS下方部分的面積為定值．

解答：（1）解：B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），四邊形OABC是正方形，
∴點(diǎn)A（0，2），C（2，0），
∵拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，
∴

c=2 1 4 ×4+2b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=2

，
∴拋物線解析式為y=

1

4

x²-

3

2

x+2；
根據(jù)垂徑定理，AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為圓心P，即P（1，0），
如圖，連接PE、PA，則PE²=PA²=OA²+OP²=2²+1²=5，
設(shè)正方形CDEF的邊長為a，
則PF=a+1，
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²，
即5=（a+1）²+a²，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴OF=OC+CF=2+1=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）證明：令y=0，則

1

4

x²-

3

2

x+2=0，
整理得，x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，0），
∴點(diǎn)M是FG的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M（3.5，0），
∴FM=3.5-3=0.5，
PM=3.5-1=2.5，
在Rt△EFM中，EM²=EF²+FM²=1²+0.5²=

5

4

，
∴PE²+EM²=5+

5

4

=

25

4

，
∵PM²=2.5²=

25

4

，
∴PE²+EM²=PM²，
∴△PEM是直角三角形，且PE⊥EM，
∴ME是⊙P的切線；

（3）解：不變，面積為

1

2

．
理由如下：∵圓心P在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-2），
∵點(diǎn)R的速度為1個單位/秒，點(diǎn)S的速度為5個單位/秒，
∴點(diǎn)R（3，1-t），S（0，5t-2），
設(shè)直線RS的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=1-t n=5t-2

，
解得

m=-2t+1 n=5t-2

，
所以，直線RS的解析式為y=（-2t+1）x+5t-2，
當(dāng)x=2時，y=（-2t+1）×2+5t-2=-4t+2+5t-2=t，
又∵RF=1-t，
∴正方形CDEF在直線RS下方部分的面積=

1

2

[t+（1-t）]×1=

1

2

，與t無關(guān)，是定值，
即正方形CDEF在直線RS下方部分的面積不變，為

1

2

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），勾股定理的應(yīng)用，圓的切線的判定，（3）的求解較為巧妙，利用直線RS的解析式確定與CD的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．