Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：FA＝FB；

（2）如圖2，分別延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，若tan∠ACB＝，求證：DH為⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，若DA＝3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AE＝2．

【解析】

（1）易得∠BAD＝90°，∠AED＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得∠BAE＝∠ADE，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，即可得到結(jié)論；

（2）由正切函數(shù)的定義得AB＝AD， AG＝AB，從而得AG＝2AD，即點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，進(jìn)而得DH∥AF，結(jié)合∠AED＝90°，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)正切三角函數(shù)的定義和勾股定理得AB＝6，BD＝3，結(jié)合三角形的面積公式，即可得到答案．

（1）∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠ADE，

∴∠ABC＝∠ADE＝∠BAE，

∴FA＝FB；

（2）由（1）知，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，

∵tan∠ACB＝，

∴tan∠ABC＝tan∠ADB＝，

又∵∠BAD＝90°，

∴在Rt△BAD中，AB＝AD，在Rt△BAG中，AG＝AB，

∴AG＝（AD）＝2AD，

∴點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，

∴DH∥AF，

由（1）知，∠AED＝90°，

∴∠HDE＝∠AED＝90°，

∴DH⊥OD，

∴DH為⊙O的切線；

（3）∵AD＝3，

∴AB＝AD＝6，

∴在Rt△ABD中，BD＝ ＝3，

∵S△ABD＝ABAD＝BDAE，

∴6×3＝3×AE，

∴AE＝2．