Question

（創(chuàng)新題）．我們使用的三角板中有30°，45°，60°和90°特殊角，我們規(guī)定：由一副三角板中的角加，減所得的角稱之為”半特殊角”．如135°=90°+45°等．如圖是由兩塊斜邊等長的三角板拚湊而成的，
（1）寫出圖中所有的小于平角的”半特殊角”和它們的度數(shù)；
（2）利用圖求sin15°的值；
（3）將圖中含30°角的直角三角板沿AB翻折得△ABC₁，再作△ABC關于AB中點O的中心對稱△ABC₂，連AC₂，BC₁，線段DC₂，DC₁分別交AB于F，G，畫出圖形，指出其中的兩對相似三角形，并求出其中一對相似三角形的相似比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到三角形ABD為等腰直角三角形，三角形ABC為含30°的直角三角形，根據(jù)題中的新定義，利用特殊角的加減即可得到∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；
（2）過E作EF于AB垂直，令AD=BD=a，設EF=x，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理表示出AB的長，判定出三角形BEF為等腰直角三角形，得到EF=BF=x，根據(jù)30度角的正切值，由EF=x，表示出AF的長，由AF+FB=AB列出等式，用含a的式子表示出x，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AE=2x，表示出AE，用DB-BE表示出DE，在直角三角形ADE中，由正弦函數(shù)的定義：對邊比斜邊即DE比AE即可求出sin15°的值；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到點A，D，B，C₁，C₂都在以AB為直徑的圓上，根據(jù)同弧所對的圓周角都相等得到∠ADC₂=∠ABC₂=∠BAC₁=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC₁A=45°，然后由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到△ADF∽△C₁AG，△ADC₂∽△FDA，設AD=BD=a，利用勾股定理表示出AB，在Rt△ABC₁中，利用30度角的余弦函數(shù)定義表示出AC₁，用AD：AC₁即可求出△ADF與△C₁AG的相似比．

解答：解：（1）∵∠DAB=∠DBA=45°，∠CAB=30°，∠CAB=60°，∠D=∠C=90°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=45°-30°=15°，∠DBC=∠CAB-∠DBA=60°-45°=15°，
由∠AED為三角形ABE的外角，
∴∠AED=∠CEB=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°，
由∠DEC為三角形ADE的外角，∠AEB為三角形AED的外角，
∠DEC=∠AEB=∠DAC+∠D=90°+15°=105°，
綜上，∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；

（2）過E作EF⊥AB于F點，
令AD=BD=a，EF=x，
則AB=

2

a，BF=EF=x，AF=

3

x
∴（

3

+1）x=

2

a，
解得：x=

( 6 - 2 )a

2

，
那么AE=2x=（

6

-

2

）a，
DE=a-

2

x=（2-

3

）a，
∴sin15°=

DE

AE

=

(2- 3 )a

( 6 - 2 ) a

=

6 -  2

4

．

（3）由”直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”可知，
點A，D，B，C₁，C₂都在以AB為直徑的圓上，
則∠ADC₂=∠ABC₂=∠BAC₁=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC₁A=45°，
∴△ADF∽△C₁AG．△ADC₂∽△FDA．
令AD=BD=a，則AB=

2

a，
在Rt△ABC₁中，AC₁=ABcos30°=

2

a•

3

2

=

6 a

2

由△ADF∽△C₁AG得相似比AD：C₁A=2：

6

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義．要求學生借助圖形，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想，構造直角三角形，靈活運用勾股定理及銳角三角函數(shù)定義來解決數(shù)學問題．