Question

△ABC中，AB=AC=9，BC=6，K為AC邊上的中點(diǎn)，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，AB、AC、BC邊上的切點(diǎn)分別為D、E、F，
（1）求⊙O的半徑；
（2）求OK的長(zhǎng)；
（3）如果⊙O′與邊AB、AC都相切，并與直線DE相交，求⊙O′的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先利用切線的性質(zhì)定理得出OD⊥AB，AF⊥BC，再利用勾股定理得出AF，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出r即可；
（2）首先得出AK的長(zhǎng)，進(jìn)而得出KE，再利用勾股定理求出OK即可；
（3）首先求出⊙O′與邊AB、AC都相切且與DE相切時(shí)兩圓的半徑，進(jìn)而得出⊙O′的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，連接AF，OD，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB、BC邊上的切點(diǎn)分別為D、F，AB=AC，
∴AF必過點(diǎn)O，OD⊥AB，AF⊥BC，EC=FC，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC=3，
則AF=

AC2-FC2

=

92-32

=6

2

，
sin∠BAF=

3

9

=

r

6 2 -r

，
解得：r=

3 2

2

；

（2）如圖2，連OE，
由（1）中可得：AE=AC-EC=AC-FC=9-3=6，
∵K為AC邊上的中點(diǎn)，
∴AK=

1

2

AC=

9

2

，
∴KE=6-

9

2

=

3

2

，
∴OK=

KE2+OE2

=

( 3 2 )2+( 3 2 2 )2

=

3 3

2

；

（3）如圖3，設(shè)AC與⊙O″相切于點(diǎn)H，AC與⊙O′相切于點(diǎn)G，
∵DE∥BC，
∴△AME∽△AFC
∴

AM

AF

=

AE

AC

=

DE

BC

，
∴

AM

6 2

=

6

9

=

DE

6

，
解得：DE=4，AM=4

2

，
設(shè)⊙O′的半徑為r₁，⊙O″的半徑為r₂，
sin∠GAO′=

r1

r1+4 2

=

1

3

，
解得：r₁=2

2

，
sin∠HAO″=

r2

4 2 -r2

=

1

3

，
解得：r2=

2

，
故半徑r的取值范圍為

2

＜r＜2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)定理和勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知找出關(guān)鍵點(diǎn)是解題關(guān)鍵．