如圖,已知O是正方形ABCD對角線AC上一點,以O為圓心、OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M,與AB精英家教網(wǎng)、AD分別相交于E、F.
(1)求證:CD與⊙O相切;
(2)若正方形ABCD的邊長為1,求⊙O的半徑;
(3)對于以點M、E、A、F以及CD與⊙O的切點為頂點的五邊形的五條邊,從相等關系考慮,你可以得出什么結論?請給出證明.
分析:(1)過O作ON⊥CD于N,然后證ON的長等于⊙O的半徑即可;連接OM,根據(jù)正方形和角平分線的性質,證OM=ON即可.
(2)若正方形的邊長為1,則對角線AC的長為
2
,可用⊙O的半徑表示出OA、OM、OC的長,然后根據(jù)AC的長度求出⊙O的半徑.
(3)五邊形中可能相等邊的有兩組:①AE=AF=MN,②ME=MF;
①易證得四邊形OMCN是正方形,那么△MNC是等腰直角三角形,而MC、CN都等于⊙O的半徑,即可求得MN的長;下面求AE、AF的長,以AE為例,易求得BM的長,根據(jù)切割線定理即可求得BE的長,進而可得到AE的長,AF的求法相同,然后比較AE、AF、MN是否相等即可;
②求ME=MF,證△MBE≌△NDF即可.
解答:(1)證明:連接OM,則OM⊥BC,過O作ON⊥CD于N.(1分)
∵點O在正方形ABCD的對角線AC上,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴OM=ON.
∵OA=OM,
∴ON=OM=OA,即ON是⊙O的半徑.
∵ON⊥CD,
∴CD與⊙O相切于點N.
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(2)解:設⊙O的半徑為R,則OM=R.
∵正方形ABCD的邊長為1,
∴AC=
2
,OC=
2
-R.
在Rt△OMC中,
∵sin∠OCM=
OM
OC
,
∴sin45°=
R
2
-R
,
解之,得R=2-
2


(3)解:對五邊形MEAFN的五條邊,從相等關系考慮,有
①AE=AF=MN;②EM=FN.
證明如下:
①∵∠OMC=∠ONC=∠MCN=90°,OM=ON,
∴四邊形OMCN是正方形.
MC=NC=R=2-
2
,BM=DN=
2
-1,
在Rt△MNC中,MN=
2
R=2
2
-2;
∵BC切⊙O于M,
∴BM2=BE•BA,
∴BE=
BM2
BA
=(
2
-1)2=3-2
2
,
同理DF=3-2
2

∴AE=AF=1-(3-2
2
)=2
2
-2,
∴AE=AF=MN.(9分)
②∵在Rt△EBM和Rt△FDN中,
BE=DF
∠B=∠D=90°
BM=DN
,
∴△EBM≌△FDN.
∴EM=FN.
點評:此題考查了正方形的性質、切線的判定、切割線定理以及全等三角形的判定等知識,難度適中.
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2
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2
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