Question

已知函數(shù)y=mx²－6x＋1（m是常數(shù)）．
⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；
⑵若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）0或9．

試題分析：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)或一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，是典型的分類討論思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)解析式可知，當(dāng)x=0時(shí)，與m值無(wú)關(guān)，故可知不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）．（2）應(yīng)分兩種情況討論：①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答．
試題解析：
解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1．
∴不論m為何值，函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）；
（2）①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx²-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
所以△=（-6）²-4m=0，m=9．
綜上，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9．