Question

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合）Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）．
（1）如圖10，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；
（2）當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

⑴解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12

          ∴  AB＝13．   

∵  Q是BC的中點．

∴  CQ＝QB．

又∵  PQ∥AC．

∴  AP＝PB，即P是AB的中點．                        

∴  Rt△ABC中，．                      

⑵解：當AC與PQ不平行時，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．                              

以CQ為直徑作半圓D．

①當半圓D與AB相切時，設切點為M，

連結DM，則

DM⊥AB，且AC＝AM＝5．

∴  MB＝AB－AM＝13－5＝8．

設CD＝x，則DM＝x，DB＝12－x．

在Rt△DMB中，DB²＝DM²＋MB²．

即   (12－x) ²＝x ²＋8²．

解之得：∴　CQ＝ 即當CQ且點P運動到切點M位置時,

△CPQ為直角三角形.   8分②當＜CQ＜12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形．        9分

③當0＜CQ＜時，半圓D與直線AB相離,即點P在AB邊上運動時,均

在半圓D外，∠CPQ＜90°．此時△CPQ不可能為直角三角形．      

∴　當≤CQ＜12時，△CPQ可能為直角三角形．