Question

【題目】已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD=2，∠DAB=30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q．

（1）當(dāng)點P運動到使Q、C兩點重合時（如圖1），求AP的長;
（2）點P在運動過程中，有幾個位置（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）
（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時（如圖2），求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

當(dāng)Q、C兩點重合時，CP與⊙O相切于點C，如圖1，

則有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）

解：有4個位置使△CQD的面積為．

提示：設(shè)點Q到CD的距離為h，

∵S△CQD=CDh=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，結(jié)合圖2可得：

有4個位置使△CQD的面積為

（3）

解：過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，如圖3．

∵S△CQD=CDQN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN2=CNDN，

設(shè)CN=x，則有=x（2﹣x），

整理得4x2﹣8x+1=0，

解得：x1=，x2=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．

【解析】（1）如圖1，利用切線的性質(zhì)可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中運用三角函數(shù)就可解決問題；
（2）易得點Q到CD的距離為，結(jié)合圖形2，即可解決問題；
（3）過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，連接QD，如圖3，易證△CNQ∽△QND，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CN．易證△PMC∽△QNC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PM與CM之間的關(guān)系，由∠MAP=30°即可得到PM與AM之間的關(guān)系，然后根據(jù)AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用公式法和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比．確定參數(shù)abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．