【題目】拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A,B兩點,(點B在點A的右側)且A,B兩點的坐標分別為(﹣2,0)、(8,0),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q,交BD于點M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P在線段OB上運動時,試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形?
(3)在(2)的結論下,試問拋物線上是否存在點N(不同于點Q),使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:將A(﹣2,0),B(8,0)代入拋物線y=ax2+bx﹣4得:
,
解得: ,
∴拋物線的解析式:y= x2﹣ x﹣4
(2)
解:當x=0時,y=﹣4,
∴C(0,﹣4),
∴OC=4,
∵四邊形DECB是菱形,
∴OD=OC=4,
∴D(0,4),
設BD的解析式為:y=kx+b,
把B(8,0)、D(0,4)代入得: ,
解得: ,
∴BD的解析式為:y=﹣ x+4,
∵l⊥x軸,
∴M(m,﹣ m+4)、Q(m, m2﹣ m﹣4),
如圖1,∵MQ∥CD,
∴當MQ=DC時,四邊形CQMD是平行四邊形,
∴(﹣ m+4)﹣( m2﹣ m﹣4)=4﹣(﹣4),
化簡得:m2﹣4m=0,
解得m1=0(不合題意舍去),m2=4,
∴當m=4時,四邊形CQMD是平行四邊形
(3)
解:如圖2,要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,N點到BC的距離與Q到BC的距離相等;
設直線BC的解析式為:y=kx+b,
把B(8,0)、C(0,﹣4)代入得: ,
解得: ,
∴直線BC的解析式為:y= x﹣4,
由(2)知:當P(4,0)時,四邊形DCQM為平行四邊形,
∴BM∥QC,BM=QC,
得△MFB≌△QFC,
分別過M、Q作BC的平行線l1、l2,
所以過M或Q點的斜率為的 直線與拋物線的交點即為所求,
當m=4時,y=﹣ m+4=﹣ ×4+4=2,
∴M(4,2),
當m=4時,y= m2﹣ m﹣4= ×16﹣ ×4﹣4=﹣6,
Q(4,﹣6),
①設直線l1的解析式為:y= x+b,
∵直線l1過Q點時,
∴﹣6= ×4+b,b=﹣8,
∴直線l1的解析式為:y= x﹣8,
則 ,
= x﹣8,
解得x1=x2=4(與Q重合,舍去),
②∵直線l2過M點,
同理求得直線l2的解析式為:y= x,
則 ,
= x,
x2﹣x﹣16=0,
解得x1=4+4 ,x2=4﹣4 ,
代入y= x,得 , ,
則N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ),
故符合條件的N的坐標為N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ).
【解析】(1)直接將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中,列方程組可求a、b的值,寫出解析式即可;(2)先求點C和D的坐標,求直線BD的解析式,根據(jù)橫坐標m表示出點Q和M的縱坐標,由MQ∥CD,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明MQ=CD即可,因此列等式:(﹣ m+4)﹣( m2﹣ m﹣4)=4﹣(﹣4),求m即可;(3)要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,可先判斷四邊形CQBM是平行四邊形,解得M點到BC的距離與Q到BC的距離相等,所以過M或Q點的與直線BC平行的直線與拋物線的交點即為所求,列方程組可得結論.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形OABC中,點B的坐標是(4,4),點E、F分別在邊BC、BA上,OE=2,若∠EOF=45°,則F點的縱坐標是( )
A. B. 1 C. D. -1
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察下列兩個等式:2﹣=2×+1,5﹣=5×+1,給出定義如下:我們稱使等式a﹣b=ab+1的成立的一對有理數(shù)a,b為“共生有理數(shù)對”,記為(a,b),如:數(shù)對(2,),(5,),都是“共生有理數(shù)對”.
(1)數(shù)對(﹣2,1),(3,)中是“共生有理數(shù)對”的是 ;
(2)若(m,n)是“共生有理數(shù)對”,則(﹣n,﹣m) “共生有理數(shù)對”(填“是”或“不是”);
(3)請再寫出一對符合條件的“共生有理數(shù)對”為 ;(注意:不能與題目中已有的“共生有理數(shù)對”重復)
(4)若(a,3)是“共生有理數(shù)對”,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是正方形?給出證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是邊長為6cm的等邊三角形.若點P以1cm/s的速度從點B出發(fā),同時點Q以1.5cm/s的速度從點C出發(fā),都按逆時針方向沿△ABC的邊運動,運動時間為6秒.
(1)試求出運動到多少秒時,直線PQ與△ABC的某邊平行;
(2)當運動到t1秒時,P、Q對應的點為P1、Q1,當運動到t2秒時(t1≠t2),P、Q對應的點為P2、Q2,試問:△P1CQ1與△P2CQ2能否全等?若能,求出t1、t2的值;若不能,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2﹣ x+2(a≠0)的圖像與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,已知點A(﹣4,0).
(1)求拋物線與直線AC的函數(shù)解析式;
(2)若點D(m,n)是拋物線在第二象限的部分上的一動點,四邊形OCDA的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系;
(3)若點E為拋物線上任意一點,點F為x軸上任意一點,當以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出滿足條件的所有點E的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商廈用8萬元購進紀念運動休閑衫,面市后供不應求,商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍,但單價貴了4元,商廈銷售這種運動休閑衫時每件定價都是58元,最后剩下的150件按八折銷售,很快售完.
(1)商廈第一批和第二批各購進休閑衫多少件?
(2)請問在這兩筆生意中,商廈共盈利多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三個點A、B、C,完成系列問題:
(1)將點B向右移動六個單位長度到點D,在數(shù)軸上表示出點D.
(2)在數(shù)軸上找到點E,使點E到A、C兩點的距離相等.并在數(shù)軸上標出點E表示的數(shù).
(3)在數(shù)軸上有一點F,滿足點F到點A與點F到點C的距離和是9,則點F表示的數(shù)是 .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com