Question

已知兩個(gè)全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E為AB中點(diǎn)，△DEF可繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，線段DE，EF分別交線段CA，CB（或它們所在直線）于M、N。

（1）如圖1，當(dāng)線段EF經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，線段DE交AC于M，求證：AM=MC；
（2）如圖2，當(dāng)線段EF與線段BC邊交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請(qǐng)?zhí)骄緼M，MN，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)線段EF與BC延長線交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請(qǐng)猜想AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，E為AB中點(diǎn)
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°
∴ ∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE
∵DF=EF，∠DFE=90°
∴∠FED=45°
∴∠FED=∠AEC
又∵AE=CE
∴AM=MC。
（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，連接BH
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
在與中：
∴
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-∠MEC=∠AEC-∠MEF==45°
∴∠HEM=∠NEM=45°
在與中：
∴
∴HM=MN
∴AM=AH+HM=CN+MN
即AM=MN+CN。
（3）猜得MN=AM+CN。