Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，點E是BC上一個動點（點E與B、C不重合），連AE，若a、b滿足

b-6=0 2a-b=10

，且c是不等式組

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整數(shù)解．
（1）求a，b，c的長；
（2）若AE平分△ABC的周長，求∠BEA的大��；
（3）是否存在線段AE將三角形ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二元一次方程組的解法得出a，b的值，再利用不等式組的解法得出x的取值范圍，進而得出c的值；
（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性質得出AC=CE，進而得出答案；
（3）分別根據(jù)AE平分三角形ABC的周長和平分面積時不能同時符合要求進而得出答案．

解答：解：（1）解方程組

b-6=0 2a-b=10

得：

b=6 a=8

，
解不等式組

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

，
解得：-4≤x＜11，
∵滿足-4≤x＜11的最大正整數(shù)為10，
∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；

（2）∵AE平分△ABC的周長，△ABC的周長為24，
∴AB+BE=

1

2

×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC為等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；

（3）不存在．
∵當AE將△ABC分成周長相等的△AEC和△ABE時，EC=6，BE=2，
此時，△AEC的面積為：

1

2

×EC×AC=

1

2

×6×6=18，
△ABE的面積為：

1

2

×BE×AC=

1

2

×2×6=6面積不相等，
∴AE平分△ABC的周長時，不能平分△ABC的面積，
同理可說明AE平分△ABC的面積時，不能平分△ABC的周長．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及二元一次方程組的解法和不等式組的解法等知識，進行分類討論得出是解題關鍵．