Question

（2013•鹽城）閱讀材料
如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．
解決問(wèn)題
（1）將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時(shí)線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不成立，請(qǐng)求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出

BF

CD

的值（用含α的式子表示出來(lái)）

Answer 1

分析：（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；
（2）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為

3

3

；
（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為tan

α

2

．

解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：
如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD OF=OD

∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．

（2）答：（1）中的結(jié)論不成立．
如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，
∴

OB

OC

=tan30°=

3

3

，∠BOC=90°．
∵△DEF為等邊三角形，點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn)，
∴

OF

OD

=tan30°=

3

3

，∠DOF=90°．
∴

OB

OC

=

OF

OD

=

3

3

．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵

OB

OC

=

OF

OD

=

3

3

，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴

BF

CD

=

3

3

．

（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點(diǎn)O為底邊AB的中點(diǎn)，
∴

OB

OC

=tan

α

2

，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰三角形，點(diǎn)O為底邊EF的中點(diǎn)，
∴

OF

OD

=tan

α

2

，∠DOF=90°．
∴

OB

OC

=

OF

OD

=tan

α

2

．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵

OB

OC

=

OF

OD

=tan

α

2

，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴

BF

CD

=tan

α

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運(yùn)用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．本題（1）（2）（3）問(wèn)的解題思路一脈相承，由特殊到一般，有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究．