Question

【題目】如圖1，兩個(gè)全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，點(diǎn)F在BC上，將△DEF沿射線BC平移，設(shè)平移的距離為x，平移后的圖形與△ABC重合部分的面積為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4時(shí)，函數(shù)的解析式不同）

（1）填空：BC的長(zhǎng)為 ；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)圖2觀察可知y=0時(shí)x=4，即D點(diǎn)從B運(yùn)動(dòng)到C平移的距離為4；

（2）當(dāng)△DEF在平移過(guò)程中，與△ABC的重合部分有三種情況，將三種圖形分別畫出，通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形，通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，將各邊用x表示出來(lái)，即可以列出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

試題解析：（1）由圖2得當(dāng)x=4時(shí)，y=0，說(shuō)明此時(shí)△DEF與△ABC無(wú)重合部分，

則點(diǎn)D從B到C運(yùn)動(dòng)的距離為4，即BC=4；

故答案為：4．

（2）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖1），BD=3，CD=1，

∵△ABC≌△DEF．

∴∠EDF=∠BAC．

∵∠ACD=∠BCA

∴△ADC∽△BAC．

∴，

即．

AC=2

∴n=2

當(dāng)0≤x≤2時(shí)（如圖2），

設(shè)ED、EF與AB分別相交于點(diǎn)M，G，作MN⊥BC，垂足為N．

則∠MNB=90°=∠EFD=∠C．

∵∠MDN=∠EDF．

∴△DMN∽△DEF．

∴，

即．

∴MN=2DN．

設(shè)DN=n，則MN=2n．

同理△BMN∽△BAC．

∴．

即，

∴BN=4n，即x+n=4n．

∴n=x．

∴S△BDM=BDMN=

同理△BGF∽△BAC

∴，

即．

∴GF=，

∴y==．

當(dāng)2＜x≤3時(shí)（如圖3），

由①知， =x2．

∴y= =

當(dāng)3＜x≤4時(shí)（如圖4），

設(shè)DE與AB相交于點(diǎn)H．

同理△DHC∽△DEF．

∴，

即

∴HC=24﹣x．

∴y==x2﹣8x+16

∴．