Question

（2010•大連一模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)．
（1）△PBQ的面積S（cm²）與點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為______，其中t的取值范圍為______；
（2）判斷△PBQ能否與△ABC相似，若能，求出此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間，若不能，說明理由；
（3）設(shè)M是AC的中點(diǎn)，連接MP、MQ，試探究點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，△MPQ的面積為△ABC面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形面積公式，知△PBQ的面積S=×BP×BQ．而BP=AB-AP=6-t，BQ=2t，代入即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，由P點(diǎn)只能從A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B移動(dòng)，可知t的取值范圍；
（2）假設(shè)△PBQ能與△ABC相似，由于∠PBC=∠ABC=90°，則只能點(diǎn)B與點(diǎn)B對應(yīng)，可分兩種情況討論：①點(diǎn)P與點(diǎn)A對應(yīng)，即△PBQ∽△ABC；②點(diǎn)P與點(diǎn)C對應(yīng)，即△PBQ∽△CBA．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于t的方程，從而求出t值；
（3）如果，那么，又AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t，根據(jù)三角形的面積公式可知，只需求出△APM中AP邊上的高及△MQC中CQ邊上的高，即可根據(jù)等量關(guān)系列出方程，進(jìn)而求出方程的解．為此，作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．根據(jù)中位線的判定及性質(zhì)可求出DM、ME的值．
解答：解：（1）S=-t²+6t，0＜t＜6；（2分）

（2）由題意知AP=t，BQ=2t．
①若△PBQ∽△ABC，則
（3分）
∴
解得t=3，（4分）
②若△PBQ∽△CBA，則
（5分）
∴
解得t=．
即當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3s或s時(shí)，△PBQ與△ABC相似；（6分）

（3）作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．
∴∠ADM=90°，
又∠B=90°，
∴∠ADM=∠B，
∴DM∥BC，
∴，
又∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴，即D是AB的中點(diǎn)，（7分）
∴．
同理，（8分）
∵，
∴，（9分）
∴
即t²-6t+9=0．（10分）
t₁=t₂=3，
即點(diǎn)P移動(dòng)3s時(shí)，（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形面積公式考查了求二次函數(shù)的解析式，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)考查了路程問題，以及組合圖形面積的計(jì)算．