Question

（2013•遵義）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理求得AB=5cm．
（1）分類(lèi)討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求t的值；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=S_△ABC-S_△BPH”列出S與t的關(guān)系式S=

4

5

（t-

3

2

）²+

21

5

（0＜t＜2.5），則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值．

解答：解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據(jù)勾股定理，得

AC2+BC2

=5cm．
（1）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，

AP

AC

=

AM

AB

，即

5-2t

4

=

4-t

5

，
解得t=

3

2

；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，

AM

AC

=

AP

AB

，即

4-t

4

=

5-2t

5

，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（2）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．則PH∥AC，
∴

PH

AC

=

BP

BA

，即

PH

4

=

2t

5

，
∴PH=

8

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△BPN，
=

1

2

×3×4-

1

2

×（3-t）•

8

5

t，
=

4

5

（t-

3

2

）²+

21

5

（0＜t＜2.5）．
∵

4

5

＞0，
∴S有最小值．
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S_最小值=

21

5

．
答：當(dāng)t=

3

2

時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是

21

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式．解答（1）題時(shí)，一定要分類(lèi)討論，以防漏解．另外，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題時(shí)，務(wù)必找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．