Question

如圖，已知拋物線y=ax²+b經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，-4）．C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）將點(diǎn)A繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，-4），
∴

16a+b=4 b=-4

，解得：

a= 1 2 b=-4

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-4；…（3分）

（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，連接AB交x軸于點(diǎn)M，
OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，
∴在△OMB與△EMA中，
∴

OB=AE ∠MOB=∠AEM ∠OMB=∠AME

∴△OMB≌△EMA，
∴MB=MA，OM=ME=

1

2

OE=2，
∴以M為圓心，MB為半徑的⊙M，即為以AB為直徑的圓．
由勾股定理得MB=

OM2+OB2

=

22+42

=2

5

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2-2

5

，0)，(2+2

5

，0)．

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的右側(cè)時(shí)，
作AE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F，
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，
在△DFC與△CEA中，

∠ACF=∠FDC AC=DC ∠DFC=∠AEC

∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)（4，0）的重合時(shí)，點(diǎn)D與原點(diǎn)重合；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)（4，0）的左側(cè)時(shí)，同理可得OF=DF；
∴綜上所述，點(diǎn)D在直線y=-x的圖象上．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m-4，4-m），（13分）
又∵點(diǎn)D在拋物線y=

1

2

x2-4的圖象上，
∴4-m=

1

2

(m-4)2-4，
解得：m₁=0，m₂=6，
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）或（0，0）時(shí)，
點(diǎn)D落在拋物線y=

1

2

x2-4的圖象上．