Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=12

3

cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以2

3

cm/s的速度向點(diǎn)A移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動，動點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度數(shù)．
（2）以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？
（3）寫出△PQR的面積S隨動點(diǎn)移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值．
（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點(diǎn)的運(yùn)動速度，即可根據(jù)時間=路程÷速度求得t的值；
（3）過Q作QE⊥x軸于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的長，進(jìn)而根據(jù)∠OAB的度數(shù)表示出QE、AE的長，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最小值及對應(yīng)的t的值；
（4）由于△APQ的腰和底不確定，需分類討論：
①AP=AQ，可分別用t表示出兩條線段的長，然后根據(jù)它們的等量關(guān)系求出此時t的值；
②PQ=AQ，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：PA=2AD；可分別用t表示出PA、AD的長，然后根據(jù)它們的等量關(guān)系列方程求解；
③AP=PQ，過點(diǎn)Q做QH⊥AQ于H，方法同②．

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

=

12

12 3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°．

（2）如圖，連接O′P，O′M．
當(dāng)PM與⊙O′相切時，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等邊三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t，
∴2

3

t=6

3

，t=3．
即：t=3時，PM與⊙O‘相切．

（3）如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=

1

2

AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×

3

2

=2

3

t．
∴OE=OA-AE=12

3

-2

3

t．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12

3

-2

3

t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=

1

2

•12•12

3

-

1

2

•2

3

t•(12-2t)-

1

2

(12

3

-2

3

t)•2t-

1

2

•2t(12

3

-2

3

t)
=6

3

t2-36

3

t+72

3

=6

3

(t-3)2+18

3

． （0＜t＜6）
當(dāng)t=3時，S_△PQR最小=18

3

；

（4）分三種情況：如圖
①當(dāng)AP=AQ₁=4t時，
∵OP+AP=12

3

，
∴2

3

t+4t=12

3

．
∴t=

6 3

3 +2

，
或化簡為t=12

3

-18；
②當(dāng)PQ₂=AQ₂=4t時，
過Q₂點(diǎn)作Q₂E⊥x軸于點(diǎn)E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=4

3

t，
即2

3

t+4

3

t=12

3

，
∴t=2；
③當(dāng)PA=PQ₃時，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．
AH=PA•cos30°=（12

3

-2

3

t）•

3

2

=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
綜上所述，當(dāng)t=2或t=3.6或t=12

3

-18時，△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，需注意的是（4）題在不確定等腰三角形腰和底的情況下，要充分考慮到各種可能的情況，以免漏解．