Question

如圖，直線AB分別與x軸、y軸相交于點A和點B，如果A（2，0），B（0，4）線段CD兩端點在坐標軸上滑動（C點在y軸上，D點在x軸上），且CD=AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當C點在y軸負半軸上，且△COD和△AOB全等時，直接寫出C、D兩點的坐標；
（3）是否存在經過第一、二、三象限的直線CD，使CD⊥AB？如果存在，請求出直線CD的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線解析式為：y=kx+b，把點A（2，0），B（0，4）代入即可求解；
（2）三角形COD和AOB都是直角三角形，因此兩直角邊相等，那么兩三角形就全等了，由此可知，OC，OD的值應該和OB，OA的值相等．由于CD可以在不同的象限，因此可分情況進行討論；
（3）那么線段CD應該在第二象限，只要讓OD=OB，OA=OC，即C（0，2），D（-4，0）時，CD⊥AB（可通過三角形全等得出角相等，然后根據相等角的轉換得出垂直）．那么根據這兩點的坐標用待定系數法即可得出函數的解析式．

解答：解：（1）設直線解析式為：y=kx+b，把點A（2，0），B（0，4）代入，解得：k=-2，b=4，
故函數解析式為：y=-2x+4

（2）由題意，得A（2，0），B（0，4），
即AO=2，OB=4．
①當線段CD在第一象限時，
點C（0，4）（不合題意舍去），D（2，0）或C（0，2）（不合題意舍去），D（4，0）．
②當線段CD在第二象限時，
點C（0，4）（不合題意舍去），D（-2，0）或C（0，2）（不合題意舍去），D（-4，0）．
③當線段CD在第三象限時，
點C（0，-4），D（-2，0）或C（0，-2），D（-4，0）．
④當線段CD在第四象限時，
點C（0，-4），D（2，0）或C（0，-2），D（4，0）．

（3）C（0，2），D（-4，0）．
直線CD的解析式為y=

1

2

x+2．
所以存在經過第一、二、三象限的直線CD，使CD⊥AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用，熟練應用全等三角形的判定的知識是解答本題的關鍵．