Question

（2013•平?jīng)觯┤鐖D，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長(zhǎng)，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來(lái)判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可．
（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，可先求出OB，OP的長(zhǎng)度即可求出△BOP的面積．

解答：解：①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，
∴0=k+1，
∴k=-1，
∴y=x²-3x，

②假設(shè)存在點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵△AOB的面積等于6，
∴

1

2

AO•BD=6，
當(dāng)0=x²-3x，
x（x-3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
 即4=x²-3x，
 解得：x=4或x=-1（舍去）．
又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 1.5，-2.25）．
∵2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）；

③∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO=

42+42

=4

2

，
當(dāng)∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x，則縱坐標(biāo)為：x²-3x，
即-x=x²-3x，
解得x=2 或x=0，
∴在拋物線上僅存在一點(diǎn)P （2，-2）．
∴OP=

22+22

=2

2

，
使∠POB=90°，
∴△POB的面積為：

1

2

PO•BO=

1

2

×4

2

×2

2

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積求法等知識(shí)．利用已知進(jìn)行分類討論得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．