Question

【題目】如圖，∠BCA＝90°，點(diǎn)O在△ABC的斜邊AB上，以OB為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與AC相切于點(diǎn)D，連結(jié)BD．

（1）求證；BD平分∠ABC；

（2）若∠ABC＝60°，OB＝2，計(jì)算△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由AC與圓相切，得到∠ODA為直角，再由∠C為直角，利用同位角相等兩直線平行，得到OD與BC平行，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，及等邊對(duì)等角，等量代換即可得證；
（2）由∠ABC的度數(shù)，求出∠A的度數(shù)，根據(jù)OD的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出OA的長(zhǎng)，由OA+OB求出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)定義求出BC與AC的長(zhǎng)，即可確定出三角形ABC面積．

解：（1）如圖，連結(jié)OD，

∵∠BCA＝90°，點(diǎn)O在△ABC的斜邊AB上，以OB為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與AC相切于點(diǎn)D，

∴∠ODA＝∠C＝90°，OB＝OD，

∴BC∥OD，∠OBD＝∠ODB，

∴∠CBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵∠ABC＝60°，OB＝2，且∠ODA＝∠C＝90°．

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，OD＝OB＝2．

∴OA＝＝4，

∴AB＝2+4＝6，

∴BC＝6sin30°＝3，AC＝6cos30°＝3，

∴S△ABC＝＝ ．