Question

在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的方案二．（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）

（1）請(qǐng)說明方案一不可行的理由；

（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）理由如下：

∵扇形的弧長＝16×＝8π，圓錐底面周長＝2πr，∴圓的半徑為4cm．

由于所給正方形紙片的對(duì)角線長為cm，而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長為cm，，

∴方案一不可行．

（2）方案二可行．求解過程如下：

設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長為Rcm，則

，  ①       ．  ②   

由①②，可得，．  故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．

【解析】（1）首先根據(jù)扇形的弧長公式及圓錐底面周長求出底面圓的半徑，再比較所給正方形紙片的對(duì)角線與制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長即可得到結(jié)論；

（2）先設(shè)出圓錐底面圓的半徑及圓錐的母線長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)及圓錐底面周長公式列出方程組，即可得到結(jié)果。