Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點M，且分正方形為四個三角形，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄分別為△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的內切圓，已知AB=1．則⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄．所夾的中心（陰影）部分的面積為（　�。�

• A、

  (4-π)(3-2 2 )

  16

• B、

  (3-2 2 )π

  4

• C、

  (4-π)(3-2 2 )

  4

• D、

  1-π

  16

Answer 1

分析：結合題意，四個小圓為等圓，順次連接O₁O₂O₃O₄，設O₁O₂與AD的交點E，利用切線的性質可知，AE=

1

2

BC，又可根據正方形的性質得出BD的長，即BM=

1

2

BD，從而可得出EM的長，即可得出圓的半徑為ME=MB-BE，結合圖形可知，陰影部分的面積為正方形O₁O₂O₃O₄的面積減去四個小扇形的面積．

解答：解：根據題意，順次連接O₁O₂O₃O₄，
四個小圓為等圓，且四邊形O₁O₂O₃O₄為正方形，
設O₁O₂與BD的交點E，
又AB=1，
故BD=

2

，BE=

1

2

，MB=

2

2

，
所以ME=

2 -1

2

，
即小圓的半徑為

2 -1

2

，
所以O₁O₂=

2

-1，
即S_正方形=3-2

2

，
又一四個扇形組成的面積S=(

2 -1

2

)2π=

3-2 2

4

π，
S_陰影=S_正方形-S=3-2

2

-

3-2 2

4

π=

(4-π)(3-2 2 )

4

；
故答案為

(4-π)(3-2 2 )

4

．

點評：本題主要考查了相切兩圓的性質以及扇形面積的求法和有關正方形的有關知識，有一定的綜合性和難度，望同學們對題目多加分析和理解，認真完成題目．