Question

如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC₁，交斜邊AC于點(diǎn)C₁，C₁B₁⊥AB于點(diǎn)B₁，設(shè)弧BC₁，線(xiàn)段C₁B₁，B₁B圍成的陰影部分的面積為S₁，然后以A為圓心，AB₁為半徑作弧B₁C₂，交斜邊AC于點(diǎn)C₂，C₂B₂⊥AB于點(diǎn)B₂，設(shè)弧B₁C₂，C₂B₂，B₂B₁圍成的陰影部分的面積為S₂，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S₃=    ．S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：每一個(gè)陰影部分的面積都等于扇形的面積減去等腰直角三角形的面積．求得AB₂、AB₃的長(zhǎng)．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
解答：解：根據(jù)題意，得
AC₁=AB=4．
所以AC₂=AB₁=2．
所以AC₃=AB₂=2．
所以AB₃=．
所以陰影部分的面積
S₃=-×2，
=-1；
∵AC₁=AB=4．
由圖可知，
AB₁=4cosn45°，
AB₂=4cos45°•cos45°，
AB₃=4cos45°•cos45°•cos45°，
…，
AB_n-1=4（cos45°） ^n-1=4×（）^n-1，
AB_n=4（cos45°） ^n-1=4×（）ⁿ，
S₁=S_{扇形ABn-1Cn}-S_△ABnCn=-×4×（）ⁿ×4×（）ⁿ
=2π×（）^2n-2-8×（）²ⁿ
=（）²ⁿ[2π×（）^-2-8]
=（）²ⁿ（4π-8）
=（）ⁿ（4π-8）
=．
故答案為：-1，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式同時(shí)要熟悉三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵，要知道每一個(gè)陰影部分的面積都等于扇形的面積減去等腰直角三角形的面積．