Question

【題目】如圖，菱形ABCD邊長為5，頂點A，B在x軸的正半軸上，頂點D在y軸的正半軸上，且點A的坐標是（3，0），以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A．

（1）求點C的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若將上述拋物線進行平移，使得平移后的拋物線的頂點P在直線BC上，且此時的拋物線恰好經(jīng)過點D，求平移后的拋物線解析式及其頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點C（5，4）；（2）y＝﹣（x﹣5）2+4；（3）y＝﹣（x﹣2）2﹣8或y＝﹣（x+）2+24，點P（2，﹣8）或（﹣，24）.

【解析】

（1）OA=3，AD=5，則DO=4，故點D（0，4），點C（5，4）；
（2）拋物線的表達式為：y=a（x-5）2+4，將點A的坐標代入上式并解得：a=-1，即可求解；
（3）直線BC的表達式為：；設(shè)點P的坐標為：（m，），而點D（0，4），則拋物線的表達式為：y=-（x-m）2，將點D的坐標代入上式并整理得：3m2+4m-20=0，即可求解．

（1）OA＝3，AD＝5，則DO＝4，故點D（0，4），點C（5，4）；

（2）拋物線的表達式為：y＝a（x﹣5）2+4，將點A的坐標代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣5）2+4；

（3）點A的坐標是（3，0），AB＝5，則點B（8，0），將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式y＝kx+b得：，解得：，

故直線BC的表達式為：y＝﹣x+；

設(shè)點P的坐標為：（m，﹣m+），而點D（0，4），

則拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣m）2﹣m+，

將點D的坐標代入上式并整理得：3m2+4m﹣20＝0，解得：m＝2或﹣，

故點P（2，﹣8）或（﹣，24），

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣2）2﹣8或y＝﹣（x+）2+24．