Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)：A　 　，B　 　，C　 　，　 　，AD的中點(diǎn)E　 　；

（2）求以E為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點(diǎn)B，C的拋物線的解析式；

（3）求對(duì)角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）△PEB的面積S△PEB與△PBC的面積S△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) A（0，1），B（0，﹣1），C（4，﹣1），D（4，1），E（2，1）；(2) 拋物線y=﹣（x﹣2）2+1經(jīng)過點(diǎn)C（4，﹣1）；(3) P（3，）；(4) S△PEB=S△PBC,理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意和圖象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，把點(diǎn)B（0，-1）代入可得a=-，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）利用直線BD的解析式為y=x-1，和拋物線解析式聯(lián)立成方程組即可求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）分別求出S△PEB和S△PEB，從而得出S△PEB=S△PBC;

解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），C（4，﹣1），D（4，1），E（2，1）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣1），

∴a（0﹣2）2+1=﹣1，解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+1，

經(jīng)驗(yàn)證，拋物線y=﹣（x﹣2）2+1經(jīng)過點(diǎn)C（4，﹣1）；

（3）直線BD的解析式為y=x﹣1，解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（3，）；

（4）S△PEB=S△PBCS△PBC=×4×=3，S△PEB=×（1×2+1×1）=，

∴S△PEB=S△PBC．