Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B與∠C互余，AD=5，BC=13，∠B=30°．
（1）求梯形ABCD的周長；
（2）求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AE∥CD，交BC于點E，可得四邊形AECD是平行四邊形，又由∠B與∠C互余，易得△ABE是直角三角形，又由AD=5，BC=13，∠B=30°，即可求得梯形ABCD各邊的長，繼而求得梯形ABCD的周長；
（2）首先過點A作AF⊥BC于點F，易求得AF的長，繼而求得梯形ABCD的面積．

解答：解：（1）過點A作AE∥CD，交BC于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴CE=AD=5，AE=CD，
∴∠AEB=∠C，BE=BC-CE=13-5=8，
∵∠B與∠C互余，
∴∠B+∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°，
∵∠B=30°，
∴AE=

1

2

BE=4，
∴AB=

BE2-AE2

=4

3

，CD=AE=4，
∴梯形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=4

3

+13+4+5=22+4

3

；

（2）過點A作AF⊥BC于點F，
∵∠B=30°，AB=4

3

，
∴AF=

1

2

AB=2

3

，
∴梯形ABCD的面積為：

1

2

（AD+BC）•AF=

1

2

×（5+13）×2

3

=18

3

．

點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．