Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣m，n），B（0，m），且m、n滿足+（n﹣5）2=0，點(diǎn)C在y軸上，將△ABC沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處．

（1）寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo)并求A、D兩點(diǎn)間的距離；

（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度數(shù)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作QH平行于AB交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)Q在HC的延長(zhǎng)線上，AB交x軸于點(diǎn)R，CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPR的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求其度數(shù)；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）20°；（3）∠CPH=45°．理由見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算點(diǎn)A與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)之差即可得到A、D兩點(diǎn)間的距離；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性質(zhì)得∠DCF=∠EFB+∠DEF，則∠EFB=∠ACF-∠DEF，又∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由QH∥AB得到∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，再根據(jù)角平分線的定義得∠QCP=∠BCQ，∠2=∠ARX，則∠1=∠BCQ，∠2=∠3，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BCQ=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根據(jù)∠1=∠CPR+∠2即可得到∠CPR=45°．

詳解：（1）∵+（n-5）2=0，

∴m+5=0，n-5=0，

∴m=-5，n=5，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），

∵△ABC沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，5）；

∴AD=5-（-5）=10；

（2）如圖2，

∵△ABC沿x軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，

∴∠DCF=∠ACF，

∵∠DCF=∠EFB+∠DEF，

∴∠EFB=∠ACF-∠DEF，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF=∠AEF，

∴∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；

（3）∠CPH=45°．理由如下：

如圖3，

∵QH∥AB，

∴∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，

∵CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，

∴∠QCP=∠BCQ，∠2=∠ARX，

∴∠1=∠BCQ，∠2=∠3，

∵∠BCQ=90°+∠3，

∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，

∵∠1=∠CPR+∠2，

∴∠CPR=45°．