Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+

m-4

2

=0．
（1）求證：不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁和x₂，滿足x12+4x1x2 =16mx2+25，且x₁＜-x₂，求m的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用含m的代數(shù)式表示出判別式△，然后把△進(jìn)行配方，即可判斷；
（2）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及方程的根的定理，把x12+4x1x2 =16mx2+25變化成關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值．

解答：解：（1）證明：△=m²-4×1×

m-4

2

=m²-2m+8=（m-1）²+7．
∵（m-1）²≥0
∴（m-1）²+7＞0，
∴△＞0
∴不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵x₁和x₂是方程x²+mx+

m-4

2

=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴

x

2 1

+mx₁+

m-x

2

=0，
x1+x₂=-m，x₁+x₂=

m-4

2

∴

x

2 1

=-mx₁-

m-4

2

．
∵16

x

2 1

+4x₁x₂=16mx²+25
∴16（-mx₁-

m-4

2

）+4x₁x₂-16mx²-25=0，
整理，得-16m（x₁+x₂）+4x₁x₂-8m+7=0
-16m（-m）+4×

m-4

2

-8m+7=0
16m²-6m-1=0
（2m-1）（8m+1）=0，m=

1

2

或m=-

1

8

∵x₁＜-x₂
∴x₁+x₂=-m＜0．
∴m＞0，
∴m=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用含m的代數(shù)式正確對(duì)x12+4x1x2 =16mx2+25進(jìn)行變形是關(guān)鍵．