Question

建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），OA=OB，點(diǎn)P自點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)段AB勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，同時(shí)點(diǎn)D自原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P、D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終滿(mǎn)足PO=PD，過(guò)點(diǎn)O、D向AB作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、E，設(shè)OD的長(zhǎng)為x
（1）求AP的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）
（2）在點(diǎn)P、D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段PC與BE是否相等？若相等，請(qǐng)給予證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)以點(diǎn)P、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形面積為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先作輔助線(xiàn)PG⊥x軸于點(diǎn)G，PF⊥y軸于點(diǎn)F．因?yàn)樵赗t△APF中PF=AP•sin45°，在等腰三角形POD中，OG=

x

2

．那么通過(guò)矩形FPGO的兩對(duì)邊FP=OG建立AP與OD間的聯(lián)系．列出AP關(guān)于x的關(guān)系式．
（2）分0≤x＜10，10≤x≤20兩種情況，根據(jù)圖形求得PC、BE用x表示的表達(dá)式，驗(yàn)證相同．
（3）分0≤x＜10，10≤x≤20兩種情況，結(jié)合圖形求得四邊形PODE面積用x表示表達(dá)式．

解答：解：（1）作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PF⊥y軸于點(diǎn)F，
在Rt△APF中，
∵OA=OB，
∴∠PAF=45°，
∴PF=AP•sin45°=

2

2

AP，
∵OG=PF，即

x

2

=

2

2

AP，
∴AP=

2

2

x （2分）；

（2）結(jié)論：PC=BE．
①當(dāng)0≤x＜10時(shí)，
∵PC=AC-AP=5

2

-

2

2

x，BE=

2

2

BD=

2

2

（10-x）=5 

2

- 

2

2

x，
∴PC=BE，

②當(dāng)10≤x≤20時(shí)，如上圖
∵PC=AP-AC=

2

2

x-5

2

，BE=

2

2

BD=

2

2

（x-10）=

2

2

x-5

2

，
∴PC=BE，
綜合①②PC=BE；

（3）①當(dāng)0＜x＜10時(shí)，
S_{四邊形PODE}=S_△AOB-S_△AOP-S_△DEB，
=

1

2

×10×10-

1

2

×10×

x

2

 -

1

2

×(10-x)×

1

2

(10-x)，
=-

1

4

x²+

5

2

x+25，
②當(dāng)10≤x≤20時(shí)，
S_{四邊形PODE}=S_△POD+S_△DOE
=

1

2

x（10-

x

2

）+

1

2

x•

x-10

2

，
=

5

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到求幾何圖形面積通過(guò)幾個(gè)三角形的面積求得．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．