Question

過三角形的重心任作一直線，把這個(gè)三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個(gè)三角形面積的

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Answer 1

設(shè)△ABC重心為G，過點(diǎn)G分別作各邊的平行線與各邊交點(diǎn)依次為A₁、B₁、B₂、C₁、C₂、A₂
連接A₁A₂；B₁B₂、C₁C₂，
∵三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的二倍，
∴A₁A=A₁B_l=B₁B，BB₂=B₂C_l=C₁C，CC₂=C₂A₂=A₂A，
∵A₁A₂∥BC，B₁B₂∥AC，C₁C₂∥AB，
∴圖中的9個(gè)三角形全等．
即△AA₁A₂≌△A₁B₁G≌△B₂GB₁≌△C₂C_lC、
所以上述9個(gè)小三角形的面積均等于△ABC面積的

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若過點(diǎn)C作的直線恰好與直線A₁C₁、B₁C₂、B₂A₂重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個(gè)小三角形的面積，即等于△ABC面積的

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若過點(diǎn)C作的直線不與直線A₁C₁、B₁C₂、B₂A₂重合，不失一般性，設(shè)此直線交AC于F，交AB于E，交C₁C₂于D，
∵GB_l=GC₂，∠EB₁G=∠DC₂C，∠B₁GE=∠C₂GD，
∴△B₁GE≌△C₂GD、
∴EF分△ABC成兩部分的面積之差等于|S△C2DF-S四邊形DFCC1|，
而這個(gè)差的絕對(duì)值不會(huì)超過S△C₁C₂C的面積．
從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的

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綜上所述：過三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個(gè)三角形面積的

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