Question

如圖，?ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形？寫(xiě)出結(jié)論并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有兩角和一個(gè)角的對(duì)邊相等即可證明：△ABE≌△CDF；
（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是平行四邊形，可先證明△AOF≌△COE，可得OF=OE，又有OA=OC，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形，可得四邊形AFCE是平行四邊形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∵在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠DFC=90° AB=DC

，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）連接AF、CE，試判斷四邊形AECF是平行四邊形，
理由如下：
證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO．
又∵∠AOE=∠COF，
∴OA=OC，
∵在△AOE和△COF中，

OA=OC ∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE．
又∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，其中平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．