Question

我們學習了因式分解之后可以解某些高次方程．例如，一元二次方程x² + x ? 2 = 0可以通過因式分解化為：(x ? 1) (x + 2) = 0，則方程的兩個解為x = 1和x = ?2．反之，如果x = 1是某方程ax² + bx + c = 0的一個解，則多項式ax² + bx + c必有一個因式是(x ? 1)．
在理解上文的基礎(chǔ)上，試找出多項式x³ + x² ? 3x + 1的一個因式，并將這個多項式因式分解．

Answer 1

∵x = 1是方程x³ + x² ? 3x + 1 = 0的一個解，
∴多項式x³ + x² ? 3x + 1的一個因式是x ? 1．
設(shè)x³ + x² ? 3x + 1 =" (x" ? 1) (x² + ax ? 1)
∴x³ + x² ? 3x + 1 = x³ + ax²? x²? ax ? x + 1
∴1 =" a" ? 1，? 3 = ? a ? 1，
∴a = 2，
∴x³ + x² ? 3x + 1 =" (x" ? 1) (x² + 2x ? 1)

根據(jù)得出x-1是多項式的一個因式，然后利用選定系數(shù)法求出另一個因式。