如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）求證：AC2=CM•CF；
（3）若CM=
2
7
7
，MF=
12
7
7
，求BD；
（4）若過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知△DGH是等邊三角形．設(shè)等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S1、S2、S3，試探究S1、S2、S3之間的等量關(guān)系，請直接寫出其結(jié)論．
（1）證明：連接OB
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°（1分）
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE（2分）
∴BE是⊙O的切線；（3分）

（2）證明：連接AM，則∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°（4分）
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA（5分）
∴
AC
CF
=
CM
AC

∴AC2=CM•CF；（6分）

（3）∵AC2=CM•CF
∴AC=2（7分）
設(shè)FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=
12
7
7
•2
7

∴x=4，x=-6（舍去）
∴FB=4（8分）
∵EB∥AC
∴
BE
AC
=
FB
FA

∴
BE
2
=
4
6
（9分）
∴BE=
4
3

∴BD=
4
3
；（10分）

（4）S22=S1•S3或
S1
S2
=
S2
S3
（12分）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，過點E的直線EF與AB的延長線交于點F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）∠F=30°時，求
S△OFE
S四邊形AOEC
的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm．
（1）以點C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時，直線AB與⊙C相切？為什么？
（2）以點C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關(guān)系？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線，CO平分∠ACD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=2，BD=3，求AB的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知兩同心圓中，大圓的弦AB，AC切小圓于D，E，△ABC的周長為12cm，求△ADE的周長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，
BC
=
BD
，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF．
（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=
3
4
，求線段AD、CD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，且點D為AC的中點，DE⊥BC于點E，AE交半圓O于點F，BF的延長線交DE于點G．
（1）求證：DE為半圓O的切線；
（2）若GE=1，BF=
3
2
，求EF的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，半徑為t的⊙D與x軸交于點A（1，0）、B（5，0），點D在第一象限，點C的坐標為（0，-2），過B點作BE⊥CD于點E．
（1）當(dāng)t為何值時，⊙D與y軸相切？并求出圓心D的坐標；
（2）直接寫出，當(dāng)t為何值時，⊙D與y軸相交、相離；
（3）直線CE與x軸交于點F，當(dāng)△OCF與△BEF全等時，求點F的坐標．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE=3，連接BD，過點E作EM∥BD，交BA的延長線于點M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交于點P，當(dāng)∠APD=45°時，求圖中陰影部分的面積．

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同步練習(xí)冊答案