Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于B（-1，0），A（3，0）兩點(diǎn)，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)此拋物線與直線y=-x在第二象限交于點(diǎn)D，平行于y軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=-x交于點(diǎn)N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c確定解析式．
（2）A，B關(guān)于對稱軸對稱，BC與對稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q．
（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于B（-1，0）、A（3，0）兩點(diǎn)，
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到：-1-b+c=0，-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以，該拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；（2分）

（2）存在（1分）
∵由前面的計算可以得到，C（0，3），且拋物線的對稱軸為直線x=1（1分）
∴由拋物線的對稱性，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=1對稱，
∴當(dāng)QC+QA最小時，△QAC的周長就最小
∴當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上時QC+QA最小，（1分）
此時：直線BC的解析式為y=x+3，
當(dāng)x=1時，y=4，
∴在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q（1，4），使得△QAC的周長最�。�2分）

（3）由題意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m）（2分）
∴線段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4=-（m+1）²+5
∵S_{四邊形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）²+10（2分）
∴當(dāng)m=-1時（在內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大．（1分）
點(diǎn)評：求直線上一點(diǎn)到直線外同旁兩點(diǎn)的距離之和最小的問題是通過對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決．不規(guī)則幾何圖形的面積問題往往是轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何圖形的面積解決．