Question

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，量得該拱橋占地面最寬處AB=20米，最高處點C距地面5米（即OC=5米）
（1）分別以AB、OC所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式；
（2）橋洞兩側(cè)壁上各有一盞景觀燈E、F，兩燈直射地面分別形成反光點H、G（E、F分別在拋物線上且關(guān)于OC對稱，H、G在線段AB上），量得矩形EFGH的周長為27.5米，現(xiàn)公園管理人員對拱橋加固維修，在點H、G處搭建一個高3.5米的矩形“腳手架”GHMN，已知“腳手架”最高處距景觀燈至少為0.35米可保證安全，請問該“腳手架”的安裝是否符合要求？如果符合，請說明理由；如果不符合，求出腳手架至少應(yīng)調(diào)低多少米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線特點可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+5，把點B的坐標(biāo)代入可得拋物線解析式；
（2）假設(shè)出E點橫坐標(biāo)為x，進而得出E點縱坐標(biāo)，再利用矩形EFGH的周長為27.5米，即可得出EH的長，進而得出EM的長．

解答：解：（1）因為OC=5米，所以頂點C（0，5），c=5，
此函數(shù)解析式為：y=ax²+5，由AB=20米，得出B點坐標(biāo)為（10，0）代入解析式得：
0=100a+5，
解得：a=-

1

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，
該拋物線的解析式為：y=-

1

20

x²+5，


（2）設(shè)E的坐標(biāo)為(m，-

1

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m2+5)，其中m＞0，
則EF=2m，EH=-

1

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m²+5．
由已知得：2（EF+EH）=27.5，
即2(2m-

1

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m2+5)=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入EH=-

1

20

m2+5=-

1

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×52+5=3.75．
∵在點H、G處搭建一個高3.5米的矩形“腳手架”GHMN，已知“腳手架”最高處距景觀燈至少為0.35米可保證安全，
∴MH=3.5m，EM=EH-MH=3.75-3.5=0.25m＜0.35m，
∴該“腳手架”的安裝不符合要求，
腳手架至少應(yīng)調(diào)低0.35-0.25=0.1米．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)拋物線特點得到二次函數(shù)解析式以及得出E點縱坐標(biāo)是解決本題的突破點．