Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1=CQ；
（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？
（3）將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C（如圖3），點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，有△AP1C∽△CP1P2？這時(shí)線段CP1與P1P2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系？．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）

∴CQ=CP1；

（2）解：如圖：作P1D⊥AC于D，

∵∠A=30°，

∴P1D= AP1；

∵∠P1CD=45°，

∴ =sin45°= ，

∴CP1= P1D= AP1；

又AP1=a，CQ=CP1，

∴CQ= a；

（3）解：當(dāng)∠P1CP2=∠P1AC=30°時(shí)，由于∠CP1P2=∠AP1C，則△AP1C∽△CP1P2，

所以將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到△A2B2C時(shí)，有△AP1C∽△CP1P2．

這時(shí) = = ，

∴P1P2= CP1．

【解析】（1）根據(jù)△A1B1C和△ABC是兩個(gè)完全一樣的三角形，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°兩個(gè)條件證明△B1CQ≌△BCP1 ， 然后可求證：CP1=CQ；（2）作P1D⊥AC于D，根據(jù)∠A=30，∠P1CD=45°分別求出P1D= AP1 ， CP1= P1D= AP1 ， 而AP1=a可求CQ．（3）當(dāng)△A P1C∽△CP1P2時(shí)，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根據(jù)相似求出CP1與P1P2之間存在的數(shù)量關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)，還要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．