Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△BCA的外角平分線于點F．

（1）探究OE與OF的數(shù)量關系并加以證明；
（2）當點O在邊AC運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請加以證明；若不是，則說明理由．
（3）當點O在AC運動到什么位置，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（4）在（3）問的基礎上，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）解：OE=OF，

理由：∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，

∴OE=OF

（2）解：不可能．

如圖所示，

連接BF，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°，

若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形

（3）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，

又∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形

（4）解：當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．

∵由（3）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，

已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．

【解析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．（2）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．（3）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．（4）由已知和（3）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．