Question

如圖，在直角坐標系中，以點A(,0)為圓心，以為半徑圓與x軸相交于點B，C，與y軸相交于點D，E.

（1）若拋物線經(jīng)過點C，D兩點，求拋物線的解析式，并判斷點B是否在該拋物線上；

（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上有一點P，使得△PBD的周長最小，求點P的坐標；

（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），在；（2）；（3）存在，（，12）.

【解析】

試題分析：（1）由已知條件先求出C，D兩點的坐標，再把其橫縱坐標分別代入拋物線的解析式求出b，c，再將點B坐標代入檢驗即可；（2）BD的長為定值，所以要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小，連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點；（3）設(shè)Q（ ，t）為拋物線對稱軸x= 

上一點，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當點M在對稱軸的左側(cè)時和①當點M在對稱軸的右側(cè)時，討論即可.

試題解析：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0），B（，0）.

又在Rt△AOD中，OA=，∴OD=. ∴D.

又∵D，C兩點在拋物線上，∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

又∵當時，，

∴點B（，0）在該拋物線上.

（2）∵，∴拋物線的對稱軸方程為：x=.

∵BD的長為定值，∴要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小.

連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△FBD周長最小的點，

設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n，，解得.

∴直線DC的解析式為.

在中令x=得y=. ∴P的坐標為.

（3）存在，

設(shè)Q（，t）為拋物線對稱軸x=上一點，M在拋物線上，

要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，且點M在對稱軸的左側(cè)，

過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=，t=12.

故在拋物線上存在點M（，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形.

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；4.勾股定理；5.軸對稱的應(yīng)用（最短線路問題）；6. 平行四邊形的判定．