Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切線DE平分AC于E。

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直徑。

Answer 1

（1）連接OD、CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC=90°，再結(jié)合E為AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據(jù)元的基本性質(zhì)可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結(jié)論；（2）

試題分析：（1）連接OD、CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC=90°，再結(jié)合E為AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據(jù)元的基本性質(zhì)可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結(jié)論；  
（2）分別證得△ACD∽△ABC與△ACD∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，由AD:DB=3:2可設(shè)AD=3k，DB=2k，則AB=5k，即可求得結(jié)果.
（1）連接OD、CD

∵DE是⊙O的切線，切點(diǎn)為D
∴OD⊥DE于D
∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；
∵BC為⊙O的直徑
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=90°
∵E為AC的中點(diǎn)
∴DE=CE=AE=AC
∴∠2=∠3
∵⊙O中，OC=OD
∴∠1=∠4
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°
∴OC⊥AC于C
∴AC是⊙O的切線；
（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
同理：△ACD∽△BCD
∴①
②
∵AD:DB=3:2
∴設(shè)AD=3k，DB=2k，則AB=5k
∴①


②

∴.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．